Question

Решите систему неравенств
6^x+(1/6)^x>2
2^x^2<=4*2^x

Answer 1

Ответ:

Решить систему неравенств .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 6^{x}+\Big(\dfrac{1}{6}\Big)^{x} > 2\\\bf 2^{x^2}\leq 4\cdot 2^{x}\end{array}\right$  

Решим неравенства сначала по отдельности .

$\bf a)\ \ 6^{x}+\Big(\dfrac{1}{6}\Big)^{x} > 2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 6^{x}+\dfrac{1}{6^{x}}-2 > 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{6^{2x}-2\cdot 6^{x}+1}{6^{x}} > 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(6^{x}-1)^2}{6^{x}} > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 6^{x} > 0\ \ pri\ x\in R\\\bf (6^{x}-1)^2\ne 0\end{array}\right\ \ ,\ \ \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in (-\infty ;+\infty )}\\\bf 6^{x}\ne 1\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x\in (-\infty ;+\infty )}\\\bf 6^{x}\ne 6^0\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x\ne 0$          

$\bf b)\ \ 2^{x^2}\leq 4\cdot 2^{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2^{x^2}\leq 2^{2+x}$

Воспользуемся тем, что функция  $\bf y=2^{x}$   возрастающая .

$\bf x^2\leq 2+x\ \ ,\ \ x^2-x-2\leq 0\ \ ,\ \ \ (x-2)(x+1)\leq 0\ \ ,\\\\znaki\ :\ \ \ +++\, [-1\, ]---[\ 2\ ]+++\\\\\boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 2\ ]}$

c)  Теперь решим систему    

$\left\{\begin{array}{l}\bf x\ne 0\\\bf x\in [-1\ ;\ 2\ ]\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;\ 2\ ]}$  

Ответ:   $\boldsymbol{x\in [-1\ ;\ 0\ )\cup (\ 0\ ;\ 2\ ]}$  .