Question

Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если a2+а4=16 и а1*а5=28​

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Составим систему на основе условия:

$\begin{cases} a_2+a_4=16 \\ a_1a_5=28 \end{cases}$

$\begin{cases} a_1+d+a_1+3d=16 \\ a_1(a_1+4d)=28 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a_1+4d=16 \\ a_1(a_1+4d)=28 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим соотношение для 4d:

$4d=16-2a_1$

И подставим во второе уравнение:

$a_1(a_1+16-2a_1)=28$

$a_1(16-a_1)=28$

$16a_1-a_1^2=28$

$a_1^2-16a_1+28=0$

$D_1=(-8)^2-1\cdot28=64-28=36$

$(a_1)_1=8+\sqrt{36} =14$

$(a_1)_2=8-\sqrt{36} =2$

Найдем соотношение для d:

$d=\dfrac{16-2a_1}{4} =\dfrac{8-a_1}{2}$

Тогда:

$d_1=\dfrac{8-(a_1)_1}{2}=\dfrac{8-14}{2}=-3$

$d_2=\dfrac{8-(a_1)_2}{2}=\dfrac{8-2}{2}=3$

Таким образом, имеется две подходящие арифметические прогрессии:

1) в которой $a_1=14;\ d=-3$

2) в которой $a_1=2;\ d=3$

Найдем сумму первых шести членов арифметической прогрессии:

$S_6=\dfrac{2a_1+5d}{2}\cdot 6= 3(2a_1+5d)$

Для первого случая получим:

$S_6=3\cdot(2\cdot14+5\cdot(-3))=3\cdot(28-15)=3\cdot13=39$

Для второго случая получим:

$S_6=3\cdot(2\cdot2+5\cdot3)=3\cdot(4+15)=3\cdot19=57$

Ответ: 39 или 57