Задано функцію f (x) = 2x³ − 12x²+ 18x. Знайдіть екстремуми і проміжки монотонності цієї функції.
Ответы
f(x) = 2x³ - 12x² + 18x
D(f) = (-∞; +∞)
Найдем производную функции:
f'(x) = 2 * 3x² - 12 * 2x + 18
f'(x) = 6x² - 24x + 18
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
6x² - 24x + 18 = 0 | : 6
x² - 4x + 3 = 0
D = 16 - 12 = 4 = 2²
x₁ = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
Отметим эти точки на координатной прямой. Они делят прямую на промежутки. Взяв любую точку из каждого промежутка и подставив её в производную получим следующие знаки:
++++++++++++(1)-------------(3)+++++++++>
В точке 1 производная меняет свой знак от "+" на "-". Значит в точке 1 функция достигает своего максимума. Аналогично, в точке 3 функция достигает своего минимума.
Поскольку производная положительна в промежутках (-∞; 1) и (3; +∞), то в этих промежутках функция монотонно возрастает, а в промежутке (1; 3) она монотонно убывает, так как производная на этом промежутке отрицательная.