Question

Задание 11.
Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если
сумма первого и шестого членов прогрессии равна 26, а сумма второго и
третьего члена прогрессии равна 18.

Answer 1

Ответ:

Cумма первых девяти членов арифметической прогрессии равна 171.

Объяснение:

Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если сумма первого и шестого членов прогрессии равна 26, а сумма второго и третьего члена прогрессии равна 18

Решение

• Сумма n членов арифметической прогрессии находят по формуле:

$\bf S_n = \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2} *n$

a₁ — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, а n — количество членов в данной прогрессии

Выражаем члены прогрессии через а₁,  используя формулу:

аₙ = a₁ + d(n-1)

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₁ + 2d

a₆ = a₁ + 5d

Согласно условию составляем систему:

$\begin{cases}a_1+a_6=26 \\a_2+a_3=18\end{cases}$

Тогда:

$\begin{cases}a_1+a_1+5d=26 \\a_1+d+a_1+2d=18\end{cases}$

$\begin{cases}2a_1+5d=26 \\2a_1+3d=18\end{cases}$

Для нахождения разницы прогрессии от первого уравнения вычитаем второе:

2d = 8

d = 4.

Подставляем найденное значение d во второе уравнение, находим a₁.

2a₁ + 3·4 = 18

2a₁ = 6

a₁ = 3

Находим сумму первых девяти членов арифметической прогрессии:

$S_9 = \dfrac{2*3+8*4}{2} *9=\frac{6+32}{2}*9=19*9=\bf 171$

Ответ: 171

#SPJ1

Answer 2

$\displaystyle\bf a_{n} = a_{1} + (n - 1)d \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{a_{1} + a_{6} = 26} \atop {a_{2} + a_{3} = 18 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{a_{1} + a_{1} + 5d = 26} \atop {a_{1} + d + a_{1} + 2d = 18}} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{2a_{1} + 5d = 26} \atop {2a_{1} + 3d = 18 \: \: | \times ( - 1) }} \right. \\ \displaystyle\bf\\ + \left \{ {{2a_{1} + 5d = 26} \atop { - 2a_{1} - 3d = - 18}} \right. \\ \\ 5d - 3d = 26 - 18 \\ 2d = 8 \\ d = 8 \div 2 \\ d = 4 \\ \\ 2a_{1} + 5 \times 4 = 26 \\ 2a_{1} + 20 = 26 \\ 2a_{1} = 26 - 20 \\ 2a_{1} = 6 \\a _{1} = 6 \div 2 \\ a_{1} = 3 \\ \\ a_{9} = a_{1} + 8d = 3 + 8 \times 4 = 3 + 32 = 35 \\ \\ S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n \\ S_{9} = \frac{a_{1} + a_{9}}{2} \times 9 = \frac{3 + 35}{2} \times 9 = \\ = \frac{38}{2} \times 9 = 19 \times 9 = 171$