Question

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 75 меньше суммы следующих пяти ее членов. На сколько двадцатый член прогрессии больше третьего?

Answer 1

Ответ:

Двадцатый член прогрессии больше третьего члена на 51

Объяснение:

Информация: 1) Арифметическая прогрессия может быть задана следующей формулой: $\tt a_n=a_1+d \cdot (n-1).$

2) Сумма первых n членов арифметической прогрессии можно определить следующей формулой:

$\tt S_n=\dfrac{2 \cdot a_1+d \cdot (n-1)}{2} \cdot n.$

Решение. По условию

a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ = a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀ - 75.

Значит

$\tt S_5=S_{10}-S_5-75,$

то есть

$\tt 2 \cdot S_5=S_{10}-75.$

По формуле суммы первых n членов получим

$\tt 2 \cdot \dfrac{2 \cdot a_1+d \cdot (5-1)}{2} \cdot 5=\dfrac{2 \cdot a_1+d \cdot (10-1)}{2} \cdot 10-75 \\\\10 \cdot a_1+d \cdot 20 =10 \cdot a_1+d \cdot 45-75\\\\d \cdot 25=75\\\\d=3.$

Найдём разность двадцатого члена и третьего члена прогрессии:

a₂₀ - a₃ = a₁ + 19·d - (a₁ + 2·d) = 17·d = 17·3 = 51.

#SPJ1