Question

19. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 150 меньше суммы

следующих пяти ее членов. На сколько одиннадцатый член прогрессии больше первого?

​

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

По условию, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 150 меньше суммы следующих пяти ее членов:

$S_{6-10}-S_5=150$

$\dfrac{2a_6+4d}{2}\cdot 5-\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=150$

$(2a_6+4d-2a_1-4d)\cdot \dfrac{5}{2}=150$

$(2a_6-2a_1)\cdot \dfrac{5}{2}=150$

$(a_6-a_1)\cdot 5=150$

$a_6-a_1=30$

$a_1+5d-a_1=30$

$5d=30$

$d=6$

Теперь найдем, на сколько одиннадцатый член прогрессии больше первого:

$a_{11}-a_1=a_1+10d-a_1=10d$

$a_{11}-a_1=10\cdot6=60$

Ответ: на 60