Ответы
Щоб довести рівність прямокутних трикутників за гострим кутом, нам знадобиться деяка інформація про геометричні властивості прямокутних трикутників.
Припустимо, що у нас є два прямокутних трикутника зі сторонами a, b, c та a', b', c', де c та c' є гіпотенузами, а a та a', b та b' є катетами. Також припустимо, що кут між гіпотенузою та одним із катетів у першому трикутнику дорівнює куту між гіпотенузою та одним із катетів у другому трикутнику. Означимо цей кут як θ.
Ми хочемо довести рівність трикутників, тобто показати, що a = a', b = b' і c = c'.
Розглянемо співвідношення між сторонами та кутами у прямокутних трикутниках. За теоремою синусів, ми маємо наступне співвідношення:
a/sin(A) = c/sin(90°)
a'/sin(A) = c'/sin(90°)
Оскільки sin(90°) = 1, ми можемо спростити ці рівняння:
a = c * sin(A)
a' = c' * sin(A)
Ми також можемо записати співвідношення для другого кута (прямого кута) у трикутниках:
b = c * sin(90° - A)
b' = c' * sin(90° - A)
Оскільки sin(90° - A) = cos(A), ми можемо спростити ці рівняння:
b = c * cos(A)
b' = c' * cos(A)
Таким чином, ми отримали наступні співвідношення:
a = c * sin(A)
a' = c' * sin(A)
b = c * cos(A)
b' = c' * cos(A)
За умовою ми знаємо, що кути A та A' однакові, тому sin(A) = sin(A') та cos(A) = cos(A'). Тоді ми можемо записати:
a = a'
b = b'
Це означає, що довжини катетів у прямокутних трикутниках од
накові.
Залишилося довести, що гіпотенузи також однакові:
c^2 = a^2 + b^2
c'^2 = a'^2 + b'^2
Оскільки a = a' та b = b', ми можемо записати:
c^2 = a^2 + b^2 = a'^2 + b'^2 = c'^2
Отже, гіпотенузи також однакові.
Отже, ми довели рівність прямокутних трикутників за гострим кутом, тобто a = a', b = b' і c = c'.