Кусок проволоки длиной 36 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника чтобы его площадь была наибольшей?
Ответы
Доброе утро!
Не имеет при одном и том же периметре (у нас это будет 36 м), площадь всегда будет одинаковой.
Ответ: 9 метров
Пошаговое объяснение:
Обозначим длину одной стороны прямоугольника как x, а другой – как y. Задачу можно сформулировать как максимизацию функции площади A(x, y) = x * y при условии 2x + 2y = 36.
Выразим одну переменную через другую из уравнения условия:
2x + 2y = 36
x + y = 18
y = 18 – x
Подставим выражение для y в функцию площади:
A(x) = x * (18 - x)
Раскроем скобки:
A(x) = 18x - x^2
Для максимизации площади найдем критические точки, вычислив производную функции площади и приравняв ее к нулю:
A'(x) = 18 – 2x
18 – 2x = 0
2x = 18
x = 9
Подставим найденное значение x назад в выражение для y:
y = 18 – x
y = 18 – 9
y = 9
Итак, найденная критическая точка (9, 9) указывает на то, что площадь прямоугольника будет наибольшей, когда стороны имеют длину 9 метров каждая.
Таким образом, для максимизации площади прямоугольника его стороны должны иметь длину 9 метров.