Question

Розв`язати диференційне рівняння!

Answer 1

Ответ:

Решить дифференциальное уравнение .

$\bf \displaystyle y'=\frac{x^2y+y}{\sqrt{4+y^2}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \frac{dy}{dx}=\frac{y\, (x^2+1)}{\sqrt{4+y^2}}\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\int \frac{\sqrt{4+y^2}\, dy}{y}=\int(x^2+1)\, dx$  

Вычислим отдельно интеграл, стоящий в левой части равенства с помощью замены .

$\bf \displaystyle \int \frac{\sqrt{4+y^2}\, dy}{y}=\Big[\ y=2\, tg\, t\ ,\ dy=\frac{2}{cos^2t}\, dt\ ,\ t=arctg\frac{y}{2}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{\sqrt{4+4\, tg^2t}\cdot 2\, dt}{2\, tg\, t\cdot cos^2t}=\int \frac{\sqrt{4\, (1+tg^2t)}\, dt}{sint\cdot cost}=2\int \frac{\sqrt{\dfrac{1}{cos^2t}}\ dt}{sint\cdot cost}=\\\\\\=2\int \frac{dt}{sint\cdot cos^2t}=2\int \frac{(sin^2t+cos^2t)\, dt}{sint\cdot cos^2t}=$  

$\bf \displaystyle =2\int \frac{sin^2t\, dt}{sint\cdot cos^2t}+2\int \frac{cos^2t\, dt}{sint\cdot cos^2t}=2\int \frac{sint\, dt}{cos^2t}+2\int \frac{dt}{sint}=\\\\\\=2\int \frac{-d(cost)}{cos^2t}+2\int \frac{dt}{2\, sin\frac{t}{2}\cdot cos\frac{t}{2}}=\\\\\\=-2\int (cost)^{-2}\cdot d(cost)+\int \frac{cos\frac{t}{2}\, dt}{sin\frac{t}{2}\cdot cos^2\frac{t}{2}}=\\\\\\=-2\cdot \frac{(cost)^{-1}}{-1}+\int \frac{1}{\dfrac{sin\frac{t}{2}}{cos\frac{t}{2}}}\cdot \frac{dt}{cos^2\frac{t}{2}}=$  

$\bf \displaystyle =\frac{2}{cost}+\int \frac{1}{tg\frac{t}{2}}\cdot d(tg\frac{t}{2})=\frac{2}{cost}+ln\Big|\, tg\frac{t}{2}\, \Big|+C=\\\\\\=\frac{2}{\dfrac{2}{\sqrt{4+y^2}}}+ln\Big|\, \frac{y}{\sqrt{4+y^2}+2}\, \Big|+C=\sqrt{4+y^2}+ln\Big|\, \frac{y}{\sqrt{4+y^2}+2}\, \Big|+C$

Вычислим отдельно интеграл, стоящий в правой части равенства .

$\bf \displaystyle \int (x^2+1)\, dx=\frac{x^3}{3}+x+C\\\\\\Otvet:\ \sqrt{4+y^2}+ln\Big|\, \frac{y}{\sqrt{4+y^2}+2}\, \Big|+C=\frac{x^3}{3}+x+C$