Question

Если
стороны треугольника образуют
геометрическую прогрессию, то их высоты:

а) образуют геометрическую прогрессию 
б) образуют арифметическую прогрессию 
в) не являются прогрессией 

Answer 1

$a,b,c$  - стороны , тогда   

 $a=a\ b=aq\ c=bq\ S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ p=frac{a+b+c}{2}=frac{a+aq+aq^2}{2}\ S=sqrt{frac{a+aq+aq^2}{2}(frac{a+aq+aq^2}{2}-a)(frac{a+aq+aq^2}{2}-aq)(frac{a+aq+aq^2}{2}-aq^2)}\\ S=frac{a^2*sqrt{-q^2+q+1}*sqrt{q^2-q+1}*sqrt{q^2+q-1}*sqrt{q^2+q+1}}{4}\\ S=0.5ah_{1}\ S=0.5bh_{2}\ S=0.5ch_{3}$
 Тогда подставляя каждое в уравнение относительно  $S$ убеждаемся что не является прогрессией