Question

......................................................

Answer 1

Ответ:

4788.

Объяснение:

$[\sqrt{1}]=[1]=1;$ поскольку 2 и 3 меньше 4, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ меньше \sqrt{4}=2, поэтому $[\sqrt{2}]=1;\ [\sqrt{3}]=1.$ Итак, первые 3 слагаемые равны 1.

Точно так же доказываем, что $[\sqrt{4}]=[\sqrt{5}]=[\sqrt{6}]=[\sqrt{7}]=[\sqrt{8}]=2.$ Тут пять слагаемых.

В общем случае целая часть равна k для чисел

         $\sqrt{k^2},\ \sqrt{k^2+1},\ \sqrt{k^2+2},\ldots ,\ \sqrt{(k+1)^2-1}=\sqrt{k^2+2k}.$

Тут 2k+1 слагаемых.

Исследуемую сумму разобъем на две скобки -

на сумму от $[\sqrt{1}]=1$ до $[\sqrt{19^2-1}=[\sqrt{361-1}]=[\sqrt{360}]=18$

и от $[\sqrt{19^2}]=[\sqrt{361}]=19$ до $[\sqrt{381}]=19.$

Первая скобка имеет вид:

$3\cdot 1+5\cdot 2+\ldots+(2k+1)\cdot k+\ldots +(2\cdot 18+1)\cdot 18.$

Выведем сначала общую формулу для вычисления подобных сумм:

$\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)\cdot k=\sum\limits_{k=1}^n(2k^2+k)=2\sum\limits_{k=1}^nk^2+\sum\limits_{k=1}^n k=2\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Поэтому

           $\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)\cdot k=n(n+1)\cdot\dfrac{4n+2+3}{6}=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{6}.$

Следовательно

                      $\sum\limits_{k=1}^{18}(2k+1)\cdot k=\dfrac{18\cdot 19\cdot 77}{6}=3\cdot 19\cdot 77=4389.$

Во второй скобке все слагаемые равны 19, причем их там 21 штука, поэтому вторая скобка равна 399.

Осталось сложить получившиеся числа: 4389+399=4788.

Замечание. Мы воспользовались формулами для суммы первых n натуральных чисел и суммы квадратов первых n натуральных чисел:

                     $\sum\limits_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2};\ \ \ \ \ \ \sum\limits_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$