Question

У геометричній прогресії (bn) з додатними членами b2*b4 = 324,
b2 +b4 = 72. Знайти b6 .

Answer 1

Ответ: b₆ = 18(26 + 15√3) или b₆ = 18(26 - 15√3).

Объяснение:

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии b₃² = b₂ · b₄, откуда b₃ = √324 = 18 (все члены прогрессии положительны по условию).

Т.к. b₂ + b₄ = 72 или b₃/q + b₃q = 72, b₃(1/q + q) = 72;

т. к. b₃ = 18, то 1/q + q = 72 : 18 = 4.

1 + q² = 4q,

q² - 4q + 1 = 0, q ≠ 0,

D = (-4)² - 4 · 1 · 1 = 16 - 4 = 12; √12 = 2√3;

q₁ = (4 + 2√3)/(2 · 1) = 2 + √3;

q₂ = (4 - 2√3)/(2 · 1) = 2 - √3.

Если q₁ = 2 + √3, то: b₄ = 18(2 + √3); b₅ = 18(2 + √3)² = 18(7 + 4√3);

b₆ = 18(2 + √3)³ = 18(7 + 4√3)(2 + √3) = 18(14 + 7√3 + 8√3 + 12) =

= 18(26 + 15√3).

Если q₂ = 2 - √3, то: b₄ = 18(2 - √3); b₅ = 18(2 - √3)² = 18(7 - 4√3);

b₆ = 18(2 - √3)³ = 18(7 - 4√3)(2 - √3) = 18(14 - 7√3 - 8√3 + 12) =

= 18(26 - 15√3).