Ответы
Для розв'язання цього тригонометричного рівняння використаємо тригонометричні тотожності та алгебраїчні перетворення.
Почнемо зі спрощення виразу. Використовуючи тотожність sin^2(x) + cos^2(x) = 1, можемо перетворити рівняння:
2sin^2(x) + 3cos(x) = 0,
2(1 - cos^2(x)) + 3cos(x) = 0,
2 - 2cos^2(x) + 3cos(x) = 0.
Тепер перетворимо це рівняння в квадратне відносно змінної cos(x):
-2cos^2(x) + 3cos(x) + 2 = 0.
Застосуємо квадратну формулу:
cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
де a = -2, b = 3, c = 2.
Підставимо ці значення:
cos(x) = (-(3) ± √((3)^2 - 4(-2)(2))) / (2(-2)),
cos(x) = (-3 ± √(9 + 16)) / (-4),
cos(x) = (-3 ± √(25)) / (-4),
cos(x) = (-3 ± 5) / (-4).
Таким чином, отримуємо два розв'язки:
1) cos(x) = (5 - 3) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2,
Це відповідає значенню x = π + 2πk, де k - ціле число.
2) cos(x) = (-5 - 3) / (-4) = -8 / (-4) = 2,
Оскільки значення косинуса не може перевищувати 1, цей розв'язок не є припустимим.
Таким чином, єдиним розв'язком цього рівняння є x = π + 2πk, де k - ціле число.