Question

Вычислите с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2-2, x=2, x=4, y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для вычисления площади фигуры ограниченной кривыми y = x^2 - 2, x = 2, x = 4 и y = 0, мы можем использовать двойной интеграл.

Площадь можно выразить как интеграл от y = 0 до y = x^2 - 2 по x от 2 до 4.

Поэтому двойной интеграл для вычисления площади будет выглядеть следующим образом:

S = ∫(2 to 4) ∫(0 to x^2-2) dy dx

Переставим порядок интегрирования:

S = ∫(0 to 2) ∫(2 to √(y+2)) dx dy + ∫(2 to 4) ∫(2 to 4) dx dy

Вычислим первый интеграл:

∫(2 to √(y+2)) dx = x | (2 to √(y+2)) = √(y+2) - 2

Теперь вычислим второй интеграл:

∫(0 to 2) (√(y+2) - 2) dy = (2/3)(y+2)^(3/2) - 2y | (0 to 2)

Подставим пределы интегрирования:

S = (2/3)(2+2)^(3/2) - 2(2) - (2/3)(0+2)^(3/2) + 2(0)

Упростим выражение:

S = (2/3)(4)^(3/2) - 4 - (2/3)(2)^(3/2) = (2/3)(8) - 4 - (2/3)(2) = 16/3 - 4 - 4/3

S = 16/3 - 12/3 - 4/3 = 0

Полученная площадь фигуры ограниченной кривыми y = x^2 - 2, x = 2, x = 4 и y = 0 равна 0