Question

Помогите решить, срочно

Answer 1

Ответ:

Заданная область расположена между эллипсом и прямой :

$\left\{\begin{array}{l}\bf x=3\, cost\\\bf y=8\, sint\end{array}\right\ \ ,\ \ \bf y\geq 4\sqrt3$  

Уравнение эллипса в декартовой системе координат будет иметь вид

 $\bf \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{64}=1$        

Найдём значение параметра, при которых эллипс пересекается с прямой .

$\bf 8\, sint4\sqrt3\ \ ,\ \ sint=\dfrac{\sqrt3}{2}\ \ ,\ \ t_1=\dfrac{\pi }{3} \ \ ,\ \ t_2=\dfrac{2\pi }{3}$  

Площадь области вычисляем с помощью определённого интеграла, учитывая симметрию области относительно оси ОУ .  

$\bf \displaystyle S=\int\limits_{a}^{b}\, x(t)\cdot y'(t)\, dt=2\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\, 3\, cost\cdot 8\, cost\, dt=48\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\, cos^2t\, dt=\\\\=24\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\, (1+cos2t)\, dt=24\cdot \Big(t+\frac{1}{2}\, sin2t\Big)\Big|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=$

$\bf \displaystyle =24\cdot \Big(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\,sin\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}\, sin\frac{2\pi }{3}\Big)=24\cdot \Big(\frac{\pi }{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}\Big)=\\\\\\=24\cdot \frac{2\pi -3\sqrt3}{12}=2\cdot \Big(2\pi -3\sqrt3\Big)=4\pi -6\sqrt3$