Три числа утворюють геометричну прогресію. Середнє арифметичне другого і третього дорівнює -43,5, а середнє арифметичне першого та другого членів дорівнює 1,45. Знайдіть другий член.
Ответы
Объяснение:
Позначимо перший член геометричної прогресії як a, а знаменник - як q. Тоді другий член буде дорівнювати a*q.
За умовою задачі маємо:
(a + a*q)/2 = 1.45, --> a*(1+q)/2 = 1.45, --> a*(1+q) = 2.9, --> a = 2.9/(1+q)
(a*q + a*q^2)/2 = -43.5, --> a*q*(1+q)/2 = -43.5, --> a*q*(1+q) = -87, --> (2.9/(1+q))*q*(1+q) = -87
Розв'язавши останнє рівняння відносно q, отримаємо:
q^2 - 30q - 60 = 0
Знайдемо корені цього квадратного рівняння:
q1 = (30 + sqrt(30^2 + 4*60))/2 = 15 + sqrt(285)
q2 = (30 - sqrt(30^2 + 4*60))/2 = 15 - sqrt(285)
Оскільки q - знаменник геометричної прогресії, то q > 0. Тому підходить лише перший корінь:
q = 15 + sqrt(285)
Тоді другий член геометричної прогресії буде:
a*q = (2.9/(1+q)) * q = 2.9/(1+q) * (15 + sqrt(285)) = 2.9*(15 + sqrt(285))/(16 + sqrt(285)) = 5.8*(15 + sqrt(285))/41
Отже, другий член геометричної прогресії дорівнює 5.8*(15 + sqrt(285))/41.