Question

обчисліть площу заштрихованої фігури на обидвах малюнках ​

Answer 1

Ответ:

1) Найдём площадь области как разность площадей криволинейных трапеций  c помощью определённого интеграла .

$\bf \displaystyle S=\int\limits_1^3\, \Big(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{9}\, x\Big)\, dx =\Big(-\frac{3}{x}-\frac{1}{9}\cdot \frac{x^2}{2}\Big)\Big|_1^3=-1-\frac{1}{2} -\Big(-3-\frac{1}{18}\Big)=\\\\\\=-1+3-\frac{1}{2}+\frac{1}{18}=2-\frac{8}{18}=\frac{14}{9}$  

2) Аналогично решаем 2 пример .

$\bf \displaystyle S=\int\limits_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\, \Big(cosx-(1-cosx)\Big)\, dx=\int\limits_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\, \Big(2\, cosx-1\Big)\, dx=\\\\\\=\Big(2\, sinx-x\Big)\Big|_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}=2\, sin\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}-\Big(-2\, sin\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\Big)=\\\\\\=2\cdot \Big(2\, sin\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\Big)=2\cdot \Big(2\cdot \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{3}\Big)=2\cdot \Big(\sqrt3-\frac{\pi}{3}\Big)=2\sqrt3-\frac{2\pi }{3}$