Question

Знайти частинны похідні другого порядку для функції
Дам 100 балов

Answer 1

Ответ:

$z_{xx}''=\dfrac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}} \\\\\\ z_{xy}''= \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}} \\\\\\ z_{yy}''=\dfrac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}$

Пошаговое объяснение:

Производная произведения :

(u·v)' = u'·v + u·v'

Производная сложной функции :

( f(g(x)) )' = f'(g(x))·g'(x)

Найдем производные первого порядка

$\displaystyle z_x '=\frac{dz}{dx} = (\arcsin xy )_x' = (xy)_x'\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2} } = \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2} }$

$\displaystyle z_y ' = \frac{dz}{dy} = (\arcsin xy )'_y = (xy)' _y \cdot \frac{1}{\sqrt{1- x^2y^2} } = \frac{x}{\sqrt{1- x^2y^2}}$

Находим производные второго порядка

$\displaystyle z_{xx}' = (z_x')' = \bigg ( \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2} } \bigg )_x ' = y \cdot\Big ( (1-x^2y^2)^{-\tfrac{1}{2} }\Big ) ' = \\\\\\=-0,5y \cdot (1-x^2y^2)^{-1,5 }\cdot (1-x^2y^2)'_x = \ \frac{-0,5y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3} } \cdot (0 -2xy^2 ) = \frac{xy^3}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}$

$\displaystyle z_{xy}'' =(z_x)'_y =\bigg ( \frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2} }\bigg )_y ' = \Big ( y \cdot (1-x^2y^2)^{-0,5}\Big )'_y = \\\\\\ =1 \cdot ( 1-x^2y^2)^{-0,5} +y \cdot \Big ( ( 1-x^2y^2)^{-0,5}\Big ) ' = \\\\\\=(1- x^2 y^2 )^{-0,5} -0,5y \cdot (1-x^2y^2)^{-1,5 }\cdot (1-x^2y^2)'_y = \\\\\\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2y^2} } + x^2y^2\cdot \frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3} } = \frac{1-x^2y^2+x^2y^2}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}} = \frac{1}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}$

$\displaystyle z_{yy}' = (z_y')' = \bigg ( \frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2} } \bigg )_y ' = x \cdot\Big ( (1-x^2y^2)^{-\tfrac{1}{2} }\Big ) ' = \\\\\\=-0,5x \cdot (1-x^2y^2)^{-1,5 }\cdot (1-x^2y^2)'_y = \ \frac{-0,5y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3} } \cdot (0 -2x^2y ) = \frac{x^3y}{\sqrt{(1-x^2y^2)^3}}$