Question

9. Площини а та В перпендикулярні. Точка А лежить у площині а, точка В - у площині В. Відстані від точок А та В до прямої перетину цих площин дорівнюють відповідно 6 см і 12 см, відстань між проекціями точок А та В на цю пряму дорівнює 12 см. Знайти кути, які утворює відрізок з даними площинами. Кути пояснити. ​

Answer 1

Условие:

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $B$ - в плоскости $\beta$. Расстояния от точек $A$ и $B$ до прямого пересечения этих плоскостей равны соответственно 6 см и 12 см, расстояние между проекциями точек $A$ и $B$  на эту прямую равно 12 см. Найти углы, которые образует отрезок с данными плоскостями. Углы объяснить. ​

Решение:

По определению угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

$BA$ - участок прямой, ограниченный двумя точками
$BA_1$ - проекция отрезка $BA$ на плоскость $\beta$
$AB_1$ - проекция отрезка $BA$ на плоскость $\alpha$
Угол между отрезком $BA$ и плоскостью $\beta$ это ∠$ABA_1$
Угол между отрезком $BA$ и плоскостью $\alpha$ это ∠$BAB_1$

Найдём стороны

Рассмотрим треугольник $A_1BB_1$
∠$BB_1A_1=90^o$ так как $BB_1$ - проекция на $A_1B_1$, т.е. перпендикуляр
$BB_1=12$ см и $B_1A_1=12$ см по условию
Таким образом треугольник $A_1BB_1$ равнобедренный, тогда
$BA_1=\frac{12}{\frac{1}{\sqrt{2} } } =12\sqrt{2}$ см

Рассмотрим треугольник $A_1AB_1$
∠$AA_1B_1=90^o$ так как $AA_1$ - проекция на $A_1B_1$, т.е. перпендикуляр к плоскости $\beta$
$AA_1=6$ см и $B_1A_1=12$ см по условию, тогда
$AB_1=\sqrt{AA_1^2+B_1A_1^2}=\sqrt{36+144}= \sqrt{180} =6\sqrt{5}$  см

Найдём углы

Рассмотрим треугольник $BA_1A$
$AA_1$⊥$BA_1$ так как $\alpha$⊥$\beta$, то есть ∠$BA_1A=90^o$
$AA_1=6$ см по условию, $BA_1=12\sqrt{2}$ см по доказанному, тогда
$tg$∠$ABA_1=\frac{AA_1}{BA_1}=\frac{6}{12\sqrt{2} } =\frac{1}{2\sqrt{2} }$

Рассмотрим треугольник $AB_1B$
$AB_1$⊥$BB_1$ так как $\alpha$⊥$\beta$, то есть ∠$AB_1B=90^o$
$BB_1=12$ см по условию, $B_1A=6\sqrt{5}$ см
$tg$∠$BAB_1=\frac{BB_1}{AB_1} =\frac{12}{6\sqrt{5} } =0.4\sqrt{5}$

Ответ:

тангенс угла с плоскостью $\beta$ равен $\frac{1}{2\sqrt{2} }$

тангенс угла с плоскостью $\alpha$ равен $0.4\sqrt{5}$