Question

х²у'=у(х+у)
Дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение 1 пор. с однородными функциями .

$\bf \displaystyle x^2\, y'=y\, (x+y)\\\\y'=\frac{xy+y^2}{x^2}\ \ ,\ \ \ y'=\dfrac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\\\\\\Zamena:\ \ u=\frac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ \ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=u+u^2\ \ ,\ \ \ \frac{du}{dx}\, x=u^2\ \ ,\ \ \ \int \frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\-\frac{1}{u}=ln|\, x\, |+C\ \ ,\ \ \ u=-\frac{1}{ln|\, x\, |+C}\ \ ,\ \ \ \frac{y}{x}=-\frac{1}{ln|\, x\, |+C}\ \ ,\\\\\\\boxed{\bf \ y=-\frac{x}{ln|\, x\, |+C}\ }$