твірна конуса 15 см кут при вершині осьового перерізу 60⁰. знайдіть об'єм конуса
Ответы
Ответ:
1125π кубических сантиметров
Пошаговое объяснение:
Коническое тело имеет высоту 15 см и угол в вершине осевого сечения равный 60 градусов. Найдем его объем.
Формула для вычисления объема конуса:
V = (1/3)*π*r^2*h,
где r - радиус основания, h - высота конуса.
Зная высоту и угол в вершине, можно вычислить радиус конуса.
Так как угол в вершине равен 60 градусам, то высота конуса равна половине диаметра вписанного круга.
По теореме Пифагора, высоту равностороннего треугольника, то есть половину диаметра вписанного круга - это сторона круга, проведенная от его центра до середины одной из его сторон. При этом другая сторона круга будет равняться радиусу основания конуса.
Отсюда следует:
r = h/tg(30) = h/(1/√3) = h*√3
Мы знаем, что твёрдое коническое тело имеет высоту 15 см, тогда радиус основания будет:
r = 15√3 см
Затем можно вычислить объем конуса:
V = (1/3)*π*r^2*h = (1/3)*π*(15√3)^2*15 = 1125π см^3
Ответ:
Об'єм конуса можна знайти за формулою:
V = (1/3)πr^2h,
де r - радіус основи, а h - висота конуса.
За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного висотою конуса та радіусом основи, можна знайти радіус r:
r^2 = h^2 + (1/2)^2h^2 = (5/4)h^2.
Отже, r = (1/2)√5h.
Кут при вершині осьового перерізу дорівнює 60⁰, тому кут при основі дорівнює 120⁰. Оскільки осьовий переріз є правильним шестикутником, радіус основи можна знайти як сторону шестикутника:
r = s/√3,
де s - довжина сторони шестикутника. Тоді:
s = r√3 = (1/2)√15h.
Використовуючи формулу для об'єму конуса, отримуємо:
V = (1/3)πr^2h = (1/3)π[(1/2)√5h]^2h = (5/12)πh^3.
Дізнавшись довжину сторони основи s, можна знайти площу основи:
S = (3√3/2)s^2 = (45/4)h^2.
Отже, об'єм конуса дорівнює:
V = (1/3)S*h = (5/4)πh^3.
Отже, об'єм конуса дорівнює (5/4)π*(15см)^3=2658,38 куб. см.