Question

помогите пожалуйста кто шарит)​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\int\sin\left(3x-1\right)\,dx=\dfrac{1}{3}\int\sin\left(3x-1\right)\,d\left(3x-1\right)=-\dfrac{1}{3}\cos\left(3x-1\right)+C$

$\int x\mathrm{tg}\left(2x^2+1\right)\,dx=\dfrac{1}{4}\int \mathrm{tg}\left(2x^2+1\right)\,d\left(2x^2+1\right)=\left\{t=2x^2+1\right\}= \\=\dfrac{1}{4}\int \mathrm{tg}\,t\,dt=-\dfrac{1}{4}\int \dfrac{d\cos t}{\cos t}=-\dfrac{1}{4}\ln\left|\cos\left(2x^2+1\right)\right|+C$

$\int \dfrac{x}{\sin^2x}\,dx=-\int x\,d\,\mathrm{ctg}\,x=-x\mathrm{ctg}\,x+\int\dfrac{d\sin x}{\sin x}=\ln\left|\sin x\right|-x\mathrm{ctg}\,x+C$

Задание выполнено!

Answer 2

а)

$\displaystyle\int\limits {\sin(3x-1)} \, dx$

Ищем дифференциал. Формула:

$dx=\dfrac{1}{t'} dt$

$t=3x-1= > \\\\dx=\dfrac{1}{(3x-1)'}dt= \dfrac{1}{3}dt$

Подставляем в исходный интеграл:

$\displaystyle\int\limits {\sin(3x-1)} \, dx=\int\limits {\sin(3x-1)\times\frac{1}{3} } \, dt=\int\limits {\frac{\sin(3x-1)}{3} } \, dt=\int\limits {\frac{\sin(t)}{3} } \, dt=\\\\=\frac{1}{3} \int\limits {\sin(t)} \, dt=\frac{1}{3} \times(-\cos(t))=\frac{1}{3} \times(-\cos(t))=\frac{1}{3} \times(-\cos(3x-1))=\\\\=-\frac{\cos(3x-1)}{3} +C, C\in R$

б)

$\displaystyle\int\limits {x\tan(2x^2+1)} \, dx$

Аналогично первому примеру, ищем дифференциал.

$t=2x^2+1= > \\\\dx=\dfrac{1}{(2x^2+1)'}dt= \dfrac{1}{2x+2}dt$

Подставляем в исходный интеграл:

$\displaystyle\int\limits {x\tan(2x^2+1)} \, dx=\int\limits {x\tan(2x^2+1)\times\frac{1}{2x+2} } \, dt=\int\limits {\frac{\tan(2x^2+1)}{4} } \, dt=\\\\\int\limits {\frac{\tan(t)}{4} } \, dt=\frac{1}{4} \int\limits \tan(t)} \, dt=\frac{1}{4} \times(-\ln|\cos(t)|)=\\\\=-\frac{\ln|\cos(2x^2+1|}{4} +C,C\in R$

в)

$\displaystyle\int\limits {\frac{x}{\sin^2x} } \, dx$

Разложим интеграл и выполним интегрирование по частям:

$\displaystyle\int\limits {x\times\frac{1}{\sin^2x} } \, dx=\\\\\\u=x\\dv=\frac{1}{\sin^2x} dx\\\\\\du=dx\\v=-\cot(x)\\\\=-x\times\cot(x)+\int\limits{\cot(x)} \, dx =-x\times\cot(x)+\ln|\sin(x)|+C,C\in R$