Сторони трикутника ABC дорівнюютт 13,14,15. Точка М, що не лежить у площині цього трикутника, рівновіддалена від його сторін на 5 см. Знайдіть відстань М до площини трикутника
Ответы
Ответ:
11.2 см
Объяснение:
Для розв'язання цієї задачі використаємо формулу для висоти трикутника:
h = 2 * S / a
де h - висота трикутника, S - його площа, a - довжина відповідної сторони.
Спочатку знайдемо площу трикутника ABC за формулою Герона:
p = (a + b + c) / 2
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
де p - півпериметр трикутника.
Підставляємо дані:
p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
S = sqrt(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = 84
Тепер знайдемо висоти трикутника, проведені з кожної вершини. Для цього використаємо формулу:
h_a = 2 * S / a
h_b = 2 * S / b
h_c = 2 * S / c
Підставляємо дані:
h_a = 2 * 84 / 13 = 16.308
h_b = 2 * 84 / 14 = 12
h_c = 2 * 84 / 15 = 11.2
Тепер знайдемо відстань від точки М до площини трикутника. Для цього знайдемо площу трикутника, утвореного точкою М та кожною зі сторін трикутника ABC, за формулою Герона:
p_1 = (a + b + d) / 2
S_1 = sqrt(p_1 * (p_1 - a) * (p_1 - b) * (p_1 - d))
p_2 = (b + c + d) / 2
S_2 = sqrt(p_2 * (p_2 - b) * (p_2 - c) * (p_2 - d))
p_3 = (c + a + d) / 2
S_3 = sqrt(p_3 * (p_3 - c) * (p_3 - a) * (p_3 - d))
де d - відстань від точки М до сторони трикутника.
Підставляємо дані:
p_1 = (13 + 14 + 5) / 2 = 16
S_1 = sqrt(16 * (16 - 13) * (16 - 14) * (16 - 5)) = 84
p_2 = (14 + 15 + 5) / 2 = 17
S_2 = sqrt(17 * (17 - 14) * (17 - 15) * (17 - 5)) = 84
p_3 = (15 + 13 + 5) / 2 = 16.5
S_3 = sqrt(16.5 * (16.5 - 15) * (16.5 - 13) * (16.5 - 5)) = 84
Тепер знайдемо висоти трикутників, утворених точкою М та кожною зі сторін трикутника ABC:
h_1 = 2 * S_1 / 13 = 12.923
h_2 = 2 * S_2 / 14 = 12
h_3 = 2 * S_3 / 15 = 11.2
Відстань від точки М до площини трикутника дорівнює мінімальній з цих висот:
h_min = min(h_1, h_2, h_3) = 11.2
Отже, відстань М до площини трикутника дорівнює 11.2 см.