Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у=5-х², х=-2, x=1, віссю Ох. ​

Answer 1

Чтобы найти площадь фигуры ограниченной линией воспользуемся формулой:

$a \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ∫f(x)dx = s \\ b \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

В нашем случае:

$f(x) = 5 - {x}^{2} \\ a = 1 \\ b = - 2$

1) Посчитаем первообразную функции f(x)=5-x²:

$∫(5 - {x}^{2}) dx$

По таблице интегралов:

$∫cdx = cx \\ ∫ {x}^{n} dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n}$

Считаем данный интеграл:

$∫(5 - {x}^{2} )dx = 5x - \frac{ {x}^{3} }{3}$

2) Посчитаем определенный интеграл:

$1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ∫(5 - {x}^{2} )dx = 5x - \frac{x {}^{3} }{3} | = (5 \times 1 - \frac{1 {}^{3} }{3} ) - (5 \times ( - 1) - \frac{ - 1 {}^{3} }{3} ) = \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3} \\ - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 1\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Следовательно площадь ограниченная линией 5-х² равна:

$s = 9 \frac{1}{3}$

Ответ:s=9⅓