Question

сумма кубов уравнения x^2-x+m=0 равна 7-и. найдите m.

Answer 1

Ответ:

m=-2.

Пошаговое объяснение:

x²-x+m=0;

пусть x₁, x₂ - корни уравнения, тогда:

x₁³+x₂³=7 (по условию);

разложим по формуле суммы кубов:

(x₁+x₂)(x₁²-x₁x₂+x₂²)=7;

вспомним, что x₁+x₂=1, а x₁x₂=m (по теореме Виета) и запишем:

(x₁²-m+x₂²)=7.     (1)

Степень понизили до второй. Продолжаем:

D=1-4m; √D=√(1-4m);

x₁=0.5(1+√(1-4m));  x₂=0.5(1-√(1-4m));

подставляем в (1):

(0.5²(1+√(1-4m))²-m+0.5²(1-√(1-4m)²)=7;

возводим в степень, приводим подобные:

0.25+2*0.25*√(1-4m)+0.25(1-4m) -m + 0.25 -2*0.25*√(1-4m)+0.25(1-4m)=7;

0.25+0.25+0.25-m-m+0.25-m=7;

1-3m=7;

m=-2.

Проверка:

x²-x-2=0;

D=1+8=9; √D=√9=3;

x₁=0.5(1+3)=2;  x₂=0.5(1-3)=-1;

x₁³+x₂³=2³+(-1)³=8-1=7 - правильно!