Question

Обчислити границі функцій.

Answer 1

Если мы подставим ½ вместо х, то получим неопределенность вида:

$\frac{0}{0}$

Поэтому воспользуемся правилом Лопиталя-Бернулли:

\displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

В нашем случае:

$f(x) = \sqrt{12 {x}^{2} - 1 } - \sqrt{4 {x}^{2} + 1} \\ g(x) = 2x - 1$

Для нахождения производной будем использовать следующие формулы:

$( {x}^{n} )' = n {x}^{n - 1} \\ c' = 0 \\ (u + v)' = u' + v' \\ (cx)' = c$

Найдем производную f(x):

$f'(x) = ( \sqrt{12 {x}^{2} - 1} )' - (\sqrt{4 {x}^{2} + 1 } )'$

Найдем производную первого выражение (обозначим его за k(x)):

$k'(x) = ( \sqrt{12 {x}^{2} - 1 } )'$

Пусть:

$12 {x}^{2} - 1 = h(x)$

Тогда:

$k(h) = \sqrt{h} = {h}^{ \frac{1}{2} }$

$k'(h) =( {h}^{ \frac{1}{2} } )' = \frac{1}{2} {h}^{ \frac{1}{2 } - 1} = \frac{1}{2} {h}^{ - \frac{1}{2} } = \frac{1}{2 \sqrt{h} } = \frac{1}{2 \sqrt{12 {x}^{2} - 1} }$

Сейчас найдем производную h(x):

$h'(x) = (12 {x}^{2} - 1)' =(12 {x}^{2} )' - 1' = 2 \times 12x - 0 = 24x$

Чтобы найти производную k(x) перемножим производную h(x) и k(h):

$k'(x) = h'(x) \times k'(h) = 24x \times \frac{1}{2 \sqrt{12 {x}^{2} - 1} } = \frac{12x}{ \sqrt{12 {x}^{2} - 1 } }$

Найдем производную второго выражения (обозначим его за j(x)):

$j'(x) =( \sqrt{4 {x}^{2} + 1} )'$

Пусть:

$4 {x}^{2} + 1 = h(x)$

Тогда:

$k(h) = \sqrt{h} = {h}^{ \frac{1}{2} }$

$k'(h) = \frac{1}{2 \sqrt{h} } = \frac{1}{2 \sqrt{4 {x}^{2} + 1 } }$

Найдем производную h(x):

$h'(x) = (4 {x}^{2} + 1)' = (4 {x}^{2} )' + 1' = 8x$

Чтобы найти производную j(x) перемножим производную h(x) и k(h):

$j'(x) = h'(x) \times k'(h) = 8x \times \frac{1}{2 \sqrt{4 {x}^{2} + 1} } = \frac{4x}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 1} }$

Следовательно:

$f'(x) = \frac{12x}{ \sqrt{12 {x}^{2} - 1 } } - \frac{4x}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 1 } }$

Найдем производную g(x):

$g'(x) = (2x - 1)' =( 2x)' - 1' = 2$

Сейчас найдем значение предела:

$lim \frac{ \frac{12x}{ \sqrt{12 {x}^{2} - 1 } } - \frac{4x}{ \sqrt{4 {x}^{2} + 1 } } }{2} = \frac{ \frac{12 \times 0.5}{ \sqrt{12 \times 0.5 {}^{2} - 1 } } - \frac{4 \times 0.5}{ \sqrt{4 \times 0.5 {}^{2} + 1 } }} {2} = \sqrt{2} \\ x→0.5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Ответ: √2