Question

Решите дифференциальное уравнение ​

Answer 1

а) $xy''-y'=x^{2}e^{x}$
Данное уравнение второго порядка, поэтому понизим степень подставкой $y' = u$

$u'x-u=x^2e^x |:x\\u' - \frac{u}{x}=xe^x$

Получили уравнение вида $u' +a(x)u=b(x)$. Используем метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

$u' - \frac{u}{x}=0\\u' = \frac{u}{x}\\\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}\\\frac{du}{u}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{du}{u} = \int\frac{dx}{x}\\ln(u)=ln(x)+C\\= > u = e^Cx, u = Cx$

Используем подстановку $C = v(x)$

$v'x=xe^x\\v'=e^x\\\frac{dv}{dx}=e^x\\dv=e^xdx\\\int dv = \int e^xdx\\v = e^x + C$

Подставляем $v$ в решение однородного уравнения $u=vx$

$u = x(e^x+C)\\u = xe^x+Cx$

Обратная замена $u=y'$

$y' = xe^x+Cx\\\frac{dy}{dx}=xe^x+Cx\\dy=(xe^x+Cx)dx\\\int{dy} = \int(xe^x+Cx)dx\\y= (x-1)e^x+\frac{Cx^2}{2}+C_1\\y = xe^x-e^x+Cx^2+C_{1}$

Ответ: $\boxed{y = xe^x-e^x+Cx^2+C_{1}}$

б) $y''-2y'+y=0$

$y''-2y'+y=0\\\lambda^2-2\lambda+1=0\\(\lambda-1)^2=0\\\lambda_{1,2}=1$

Кратность корня 2

$\overline y = (C_{1}x+C)e^x\\\overline y = C_{1}xe^x+Ce^{x}$

Ответ: $\boxed{\overline y = C_{1}xe^x+Ce^{x}}$