Ответы
Ответ:
Шаг 1. Нахождение области определения функции
Так как в выражении F(x) = - 6x + 2x^3 нет никаких ограничений на переменную x то область определения функции равна всей числовой прямой: D(F) = (-∞ ∞).
Шаг 2. Нахождение точек пересечения с осями координат
Для нахождения точек пересечения с осями координат решим уравнение F(x) = 0:
- 6x + 2x^3 = 0
Вынесем общий множитель:
- 2x(3 - x^2) = 0
Таким образом F(0) = 0 F(∛3) = -4∛3 и F(-∛3) = 4∛3.
Точки пересечения с осями координат: (0 0 (∛3 -4∛3) и (-∛3 4∛3).
Шаг 3. Нахождение интервалов знакопостоянства функции
Установим знак функции на каждом из интервалов между точками пересечения с осями координат:
1) x < -∛3 : F(x) < 0
2) -∛3 < x < 0 : F(x) > 0
3) 0 < x < ∛3 : F(x) < 0
4) x > ∛3 : F(x) > 0
Шаг 4. Нахождение экстремумов функции и интервалов выпуклости/вогнутости
Найдём производную функции:
F'(x) = -6 + 6x^2
Выражение F'(x) = 0 при x = ±1. Таким образом F(-1) = 4 и F(1) = -4. Значит точки (-1 4) и (1 -4) - это точки экстремума.
Найдя вторую производную получим:
F''(x) = 12x
Так как F''(x) > 0 при x > 0 функция F(x) выпукла вверх на интервале (0 ∞). Также F''(x) < 0 при x < 0 что означает что функция F(x) вогнута вниз на интервале (-∞ 0).
Шаг 5. Нахождение асимптот функции
Так как функция F(x) не имеет никаких ограничений на переменную x она не имеет вертикальных асимптот.
Для нахождения горизонтальной асимптоты найдём предел функции при x → ±∞:
lim F(x) = lim (-6x + 2x^3) = -∞ при x → -∞
lim F(x) = lim (-6x + 2x^3) = +∞ при x → +∞
Таким образом функция F(x) не имеет горизонтальных асимптот.