Question

Сторони трикутника АВС продовжено так, що АВ=ВА', ВС=СВ', СА=АС'. Знайдіть площу трикутника АВС, якщо площа трикутника А'В'С' дорівнює S

Answer 1

Ответ:

Позначимо точку перетину медіан трикутника АВС через М.

За властивостями медіан трикутника:

AM:MB = AS:SС = 1:2

BM:MC = BV:VC = 1:2

CM:MA = CW:WA = 1:2

Звідси AM = BM = CM = 2/3 ММ'

Розглянемо трикутник AMM'. Він є півтрикутником, бо медіана АМ є його висотою, а відрізок MM' ділить його на дві рівні частини.

Довжина AM дорівнює 2/3 довжини медіани трикутника АВС, тобто

AM = 2/3 * 2/3 * AA' = 4/9 AA'

Аналогічно, BM = 4/9 BB', CM = 4/9 CC'

Запишемо формулу для площі трикутника АВС через довжини медіан:

S = 3/4 * (MA * MB * MC)^0.5

Підставимо в неї знайдені довжини медіан:

S = 3/4 * (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5

Оскільки площа трикутника А'В'С' дорівнює S, то

S' = 3/4 * (AA' * B'B * CC')^0.5

Поділимо обидві формули одна на одну:

S/S' = (8/27 * AA' * BB' * CC')^0.5 / (AA' * BB' * CC')^0.5

S/S' = (8/27) ^0.5 = 4/9

Звідси

S = 4/9 * S'

Відповідь: площа трикутника АВС дорівнює 4/9 від площі трикутника А'В'С'.