Ответы
Ответ:
y = (1/2)e^(2x^2) - 1
Пошаговое объяснение:
Дано дифференциальное уравнение:
y' - 4xy = -4x^3,
с начальным условием y(0) = -1/2.
Для решения этого уравнения мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Чтобы найти множитель, мы умножим обе части уравнения на экспоненту интеграла от (-4x) dx, которая является интегрирующим множителем.
e^(-2x^2) * y' - 4x * e^(-2x^2) * y = -4x^3 * e^(-2x^2).
Теперь мы можем заметить, что левая часть уравнения является производной произведения e^(-2x^2) и y по x:
(d/dx)(e^(-2x^2) * y) = -4x^3 * e^(-2x^2).
Интегрируя обе части уравнения по x, получаем:
e^(-2x^2) * y = ∫(-4x^3 * e^(-2x^2)) dx.
Вычисляя интеграл, получаем:
e^(-2x^2) * y = C - e^(-2x^2),
где C - произвольная постоянная.
Теперь разделим обе части уравнения на e^(-2x^2):
y = Ce^(2x^2) - 1.
Используя начальное условие y(0) = -1/2, подставим x = 0 и y = -1/2 в уравнение:
-1/2 = Ce^(0) - 1,
-1/2 = C - 1,
C = 1/2.
Таким образом, решение дифференциального уравнения y' - 4xy = -4x^3 с начальным условием y(0) = -1/2 равно:
y = (1/2)e^(2x^2) - 1.