Question

У трикутнику ABC ∠ C = 90°, ∠ A = 30°, BC = 2 см, AD — бісектриса. Розв’яжіть трикутник ABD.

Answer 1

Для того щоб розв'язати трикутник ABD, ми можемо скористатися деякими властивостями бісектриси трикутника.

Оскільки ∠C = 90° і AD є бісектрисою, ми можемо застосувати властивість бісектриси, яка каже, що відстань від вершини трикутника до точки перетину бісектриси ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню довжин інших двох сторін трикутника.

Отже, ми можемо позначити відстань від точки D до сторони AB як x. Тоді відстань від точки D до сторони BC буде також x.

Оскільки ∠A = 30°, ми знаємо, що ∠BAD = ∠BDA = 15°.

Тепер ми можемо скористатися тригонометричним співвідношенням для визначення довжини сторони AB. Застосуємо співвідношення тангенсу для трикутника ABD:

tan(∠BAD) = x / AB

Тангенс 15° можна виразити як √3 - 1 / √3 + 1.

Отже, ми отримуємо:

(√3 - 1) / (√3 + 1) = x / AB

Ми також знаємо, що AB + x = 2 см, оскільки BC = 2 см.

Залишається лише розв'язати це рівняння для визначення значення AB. Простими алгебраїчними перетвореннями ми отримаємо:

AB = 2 - x

AB = (2 - x) * (√3 + 1) / (√3 - 1)

AB = (2 - x) * (√3 + 1) * (√3 + 1) / 2

AB = (2 - x) * (4 + 2√3 + 3) / 2

AB = (2 - x) * (7 + 2√3) / 2

AB = (7 + 2√3) / 2 - x * (7 + 2√3) / 2

Тепер ми можемо замінити це значення AB в рівнянні тангенсу:

(√3 - 1) / (√3 + 1) = x / [(7 + 2√3) / 2 - x * (7 + 2√3) / 2]

Можна розв'язати це рівняння числовими методами або графічно. Однак, оскільки це складне рівняння, точний числовий результат може бути складним до отримання.

Отже, розв'язання трикутника ABD вимагає більш детального аналізу, використання числових методів або використання комп'ютерних програм для чисельного розв'язання рівняння.