Question

y^3(y-1)dx+3xy^2(y-1)dy=(y+2)dy, y(1/4)=2 помогите

Answer 1

Уравнение имеет вид: y^3(y-1)dx + 3xy^2(y-1)dy = (y+2)dy.

Для начала перепишем его в более удобной форме:

y^3(y-1)dx + 3xy^2(y-1)dy - (y+2)dy = 0.

Теперь объединим все дифференциалы на одну сторону и произведем соответствующие алгебраические преобразования:

y^3(y-1)dx + 3xy^2(y-1)dy - (y+2)dy = 0,
y^3(y-1)dx + (3xy^2(y-1) - (y+2))dy = 0,
y^3(y-1)dx + (3xy^3 - 3xy^2 - y - 2)dy = 0.

Теперь у нас есть полное дифференциальное уравнение. Решим его, разделив коэффициенты dx и dy:

y^3(y-1)dx + (3xy^3 - 3xy^2 - y - 2)dy = 0,
y^3(y-1)dx = (3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2)dy.

Делим обе части на (3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2):

(y^3(y-1))/(3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2)dx = dy.

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения. Для левой части использована замена переменной u = 3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2, а для правой части - u = y:

∫(y^3(y-1))/(3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2)dx = ∫dy.

Обозначим интегралы слева и справа как I1 и I2 соответственно.

∫(y^3(y-1))/(3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2)dx = I1,
∫dy = I2.

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения. Решим сначала интеграл I2:

∫dy = ∫du,
y = u + C1.

Теперь решим интеграл I1. Заметим, что числитель можно представить в виде разности двух кубов: y^3(y-1) = y^3 - y^4.

∫(y^3(y-1))/(3xy^2 - y^3 + 3xy^2 - y - 2)dx = ∫(y