Question

Знайти похідні першого порядку даних функцій використовуючи правила обчислення похідних ​

Answer 1

Ответ:

$2. (xlnx)'=lnx +1$

$3.\left(\dfrac{x^{5} }{ctgx}\right)'=\dfrac{x^{4}\cdot(2,5 sin2x +x) }{cos^{2}x }$

Пошаговое объяснение:

Найти производную первого порядка данных функций, воспользовавшись правилом вычисления производной

$2. y=xlnx$                        $3.y= \dfrac{x^{5} }{ctgx}$

2. Воспользуемся правилом нахождения производной произведения .

Если  u и v  - дифференцируемые функции, то $(uv)'=u'v+uv'$

И формулами x'=1   и  (lnx)'= 1/x.

$y'=(xlnx)'=x'\cdot lnx +x \cdot(lnx)'=1\cdot lnx +x\cdot \dfrac{1}{x} =lnx +1$

3.Воспользуемся правилом нахождения производной частного.

Если  u и v  - дифференцируемые функции, то

$\left(\dfrac{u}{v}\right )'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2} }$

и формулами $(x^{n} )'=nx^{n-1}$    и    $(ctgx)'=-\dfrac{1}{sin^{2}x }$

$y'=\left( \dfrac{x^{5} }{ctgx}\right)'=\dfrac{(x^{5})'\cdot ctgx -x^{5}\cdot(ctgx)' }{(ctgx)^{2} } =\dfrac{5x^{4} \cdot ctgx -x^{5}\cdot\left(-\dfrac{1}{sin^{2} x} \right) }{ctg^{2} x} =\\\\\\=\dfrac{5x^{4}\cdot \dfrac{cosx}{sinx}+x^{5} \cdot \dfrac{1}{sin^{2} x} }{ctg^{2} x} =\dfrac{5x^{4}cosx\cdot sinx +x^{5} }{sin^{2}x } \cdot tg^{2} x=\dfrac{5x^{4}cosx\cdot sinx +x^{5} }{sin^{2}x } \cdot\\\\\\\cdot\dfrac{sin^{2}x }{cos^{2}x } =\dfrac{5x^{4}cosx\cdot sinx +x^{5} }{cos^{2}x }$

Так как  $sin2x =2sinx\cdot cosx$, то

$\dfrac{2,5x^{4} \cdot 2sinx\cdot cosx+x^{5} }{cos^{2}x } =\dfrac{2,5x^{4}\cdot sin2x +x^{5} }{cos^{2}x } =\dfrac{x^{4}\cdot(2,5 sin2x +x) }{cos^{2}x }$

#SPJ1