Question

Решите неравенство
Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

[ 1; + ∞).

Пошаговое объяснение:

Решить неравенство

$4^{x} +2^{x+3} \geq 20$

$2^{2x} +2^{x} \cdot 2^{3} \geq 20;\\2^{2x} +8\cdot 2^{x} \geq 20;\\2^{2x} +8\cdot 2^{x} -20\geq 0.$

Пусть  $2^{x} =t, t > 0$     . Тогда неравенство принимает вид:

$t^{2} +8t-20\geq 0;\\t^{2} +8t-20=0;\\D= 8^{2} -4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144;\\\\t{_1}= \dfrac{-8-\sqrt{144} }{2\cdot1} =\dfrac{-8-12}{2} =-\dfrac{20}{2} =-10;\\\\t{_2}= \dfrac{-8+\sqrt{144} }{2\cdot1} =\dfrac{-8+12}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Тогда получим

$(t+10)(t-2)\geq 0 \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} t\leq -10 \\ t \geq 2 \end{array} \right.$

Если t>0  , то получим $t\geq 2.$

Вернемся к замене и получим

$2^{x} \geq 2;\\2^{x} \geq 2^{1} ;\\x\geq 1.$

Значит, решением неравенства является x ∈ [ 1; + ∞).