Question

Дано вершини трикутної піраміди ABCD, А(– 4; 2; 1), В (– 1; 5; 4), С(– 2; – 4; 5), D(1; 2; –7)

Засобами векторної алгебри та аналітичної геометрії знайти площу грані АВС.

Answer 1

Ответ:   $\bf S_{ABC}=3\sqrt{42}$  .

Площадь грани АВС найдём как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС .

$\bf A(-4;2;1)\ ,\ B(-1;5;4)\ ,\ C(-2;-4;5)\\\\\overline{AB}=(3;3;3)\ \ ,\ \ \overline{AC}=(2;-6;4)\\\\\\{}[\overline{AB}\times \overline{AC}]=\left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&3&3\\2&-6&4\end{array}\right|=\overline{i}\, (12+18)-\overline{j}\, (12-6)+\overline{k}\, (-18-6)=\\\\\\=30\overline{i}-6\overline{j}-24\overline{k}\\\\|[\overline{AB}\times \overline{AC}]|=\sqrt{30^2+6^2+24^2}=\sqrt{1512}=6\sqrt{42}\\\\\\S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\sqrt{42}=3\sqrt{42}$