Question

Сколько существует способов распределить 24 одинаковых компьютеров по 4-х лабораториям, если на складе может остаться не более 3-х.

Answer 1

Ответ: Cуществует 5781  способ распределить 24 одинаковых компьютера по 4-м лабораториям , при условии , что  на складе может остаться не более 3-х.

Пошаговое объяснение:

Мы имеем четыре лаборатории

x₁ , x₂ , x₃ , x₄

Поскольку в складе может остаться не более 3-х компьютеров , то в складе мы можем оставить 0, 1 , 2 или 3 компьютера

1 случай , когда мы распределяем 24 компьютера по 4 лабораториям , и оставляем 0 компьютеров для склада , для подсчета мы будем использовать сочетания с повторениями

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 24

Т.к  ни в одной лаборатории не может быть  0 компьютеров  , то чтобы применить формулу сочетаний с повторениями мы должны ввести замену : x₁ = y₁ +1  ,  x₂ = y₂ +1 ,  x₃ = y₃ + 1 ,  x₄ = y₄ + 1

Тогда

y₁ + 1 +  y₂+ 1 + y₃ +1  + y₄ + 1 = 24

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 20

Теперь мы можем применить формулу сочетаний с повторениями

$\boldsymbol{\widetilde{ C_n^k} =\dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}$

n = 4 - количество лабораторий ,  k = 20 - количество компьютеров

$\widetilde{ C_{4}^{20}} =\dfrac{(20+4-1)!}{20! \cdot (4-1)!} = \dfrac{23!}{20! \cdot 3!} = \dfrac{23\cdot 22 \cdot 21}{6} = 23\cdot 77 = 1771$

2 случай , когда в складе остается 1 компьютер , а остальные 23 распределяем по лабораториям

Поступаем аналогично , как и в 1 случае

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 23

y₁ + 1 +  y₂+ 1 + y₃ +1  + y₄ + 1 = 23

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 19

$\widetilde{ C_{4}^{19}} =\dfrac{(19+4-1)!}{19! \cdot (4-1)!} = \dfrac{22!}{19! \cdot 3!} = \dfrac{22\cdot 21 \cdot 20}{6} = 22\cdot 70 = 1540$

3 случай , когда в складе остается 2 компьютера , а остальные 22 распределяем по лабораториям

y₁ + 1 +  y₂+ 1 + y₃ +1  + y₄ + 1 = 22

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 18

$\widetilde{ C_{4}^{18}} =\dfrac{(18+4-1)!}{18! \cdot (4-1)!} = \dfrac{21!}{18! \cdot 3!} = \dfrac{21\cdot 20 \cdot 19}{6} = 70\cdot 19 = 1330$

4 случай , когда в складе остается 3 компьютера , а оставшиеся  21 распределяем по лабораториям

y₁ + 1 +  y₂+ 1 + y₃ +1  + y₄ + 1 = 21

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 17

$\widetilde{ C_{4}^{17}} =\dfrac{(17+4-1)!}{17! \cdot (4-1)!} = \dfrac{20!}{17! \cdot 3!} = \dfrac{20\cdot 19 \cdot 18}{6} = 380 \cdot 3 = 1140$

Суммируем способы со всех 4-х случаев :

1771 + 1540 + 1330 + 1140 = 5781

#SPJ1