Question

решить уравнение; указать корни этого уравнения, принадлежащие указанному интервалу

Answer 1

Ответ:

Решить уравнение .

$\bf \Big(8\, sin^2x-6\, sinx-5\Big)\cdot \sqrt{-cosx}=0\ \ ,\ \ \ x\in \Big[-\dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{3\pi }{2}\ \Big)$  

ОДЗ:  $\bf -cosx\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ cosx\leq 0\ \ ,\ \ x\in \Big[\ \dfrac{\pi }{2}+2\pi m\ ;\ \dfrac{3\pi }{2}+2\pi m\Big]\ ,\ \ m\in \mathbb{Z}$

Произведение равно 0 , когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

$\bf a)\ \ 8\, sin^2x-6\, sinx-5=0\ \ ,\ \ \ t=sinx\ ,\ \ |\, t\, |\leq 1\ \ ,\\\\8\, t^2-6\, t-5=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=36+160=196=14^2\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{6-14}{16}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{6+14}{16}=\dfrac{5}{4} > 1\ \ ne\ podxodit\\\\sinx=-\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ x_1=-\dfrac{\pi }{6}+2\pi n\ \ ,\ \ x_2=-\dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\ \ ,\ \ \ n\in \mathbb{Z}$    

В ОДЗ не входит первая серия корней .

Остаётся   $\bf x=-\dfrac{5\pi }{6}+2\pi n\ \ ,\ n\in \mathbb{Z}$  или  можно записать  $\bf x=\dfrac{7\pi }{6}+2\pi n$  

$\bf b)\ \ -cosx=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ cosx=0\ \ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k\ \ ,\ \ k\in \mathbb{Z}$  

с)  Выберем корни, принадлежащие указанному сегменту .

$\bf x_1=\dfrac{\pi }{2}\ ,\ \ x_2=\dfrac{7\pi }{6}\ \ .$        

Ответ:  

$\bf x_1=\dfrac{\pi }{2}+2\pi n\ ,\ x_2=-\dfrac{5\pi }{6}+2\pi k\ ,\ n,k\in \mathbb{Z}\ ;\ \ \ \bf \dfrac{\pi }{2}\ ,\ \dfrac{7\pi }{6}\in \Big[\ \dfrac{\pi }{2}\ ;\ \dfrac{3\pi }{2}\ \Big)$   .