Question

Знайдіть частинний розвʼязок рівняння: y"+6у'+9=0,
якщо y=1,
y'=2 прих=0.

Answer 1

Ответ:

Искомое частное решение $\tt y=(1+5 \cdot x) \cdot e^{-3 \cdot x}$

Пошаговое объяснение:

Требуется найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y"+6·y'+9 = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 2 (то есть решить задачу Коши).

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами y"+6·y'+9 = 0:

λ²+6·λ+9 = 0 ⇔ (λ+3)² = 0 ⇒ λ₁ = λ₂ = -3.

Так как корни характеристического уравнения кратное, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$\tt y=C_1 \cdot e^{-3 \cdot x}+ C_2 \cdot x \cdot e^{-3 \cdot x}$

или в упрощённом виде:

$\tt y=(C_1 + C_2 \cdot x ) \cdot e^{-3 \cdot x}.$

Для применения начальных условий находим производную от решения:

$\tt y'=((C_1 + C_2 \cdot x ) \cdot e^{-3 \cdot x})'=(C_1 + C_2 \cdot x )' \cdot e^{-3 \cdot x}+(C_1 + C_2 \cdot x ) \cdot (e^{-3 \cdot x})'=\\\\=C_2 \cdot e^{-3 \cdot x}+(C_1 + C_2 \cdot x ) \cdot (-3 \cdot e^{-3 \cdot x}).$

Теперь применим начальные условия:

$\tt \displaystyle \left \{ {{y(0)=(C_1 + C_2 \cdot 0 ) \cdot e^{-3 \cdot 0}=1} \atop {y'(0)=C_2 \cdot e^{-3 \cdot 0}+(C_1 + C_2 \cdot 0 ) \cdot (-3 \cdot e^{-3 \cdot 0})=2}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{C_1=1} \atop {C_2-3 \cdot C_1=2}} \right.$

$\tt \displaystyle \left \{ {{C_1=1} \atop {C_2=2+3 \cdot 1=5}} \right..$

Значит, искомое частное решение имеет вид

$\tt y=(1+5 \cdot x) \cdot e^{-3 \cdot x}.$

#SPJ1