Question

2.4. Дослідіть ряд на збіжність, використовуючи ознаку Даламбера: sum n = 1 to ∞ (4 ^ n)/n​

Answer 1

Ответ:

Ряд расходится

Пошаговое объяснение:

Изначальный ряд:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}$

По признаку Даламбера:

$K=\lim_{n\to\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_{n}})$

Если K>1, то ряд расходится
Если K<1, то ряд сходится
Если K=1, то это ничего не даёт

При этом, $a_{n}=\frac{4^n}{n}$, а $a_{n+1}=\frac{4^{n+1}}{n+1}$

Находим предел:

$K= \lim_{n\to\infty}(\frac{4^{n+1}}{n+1}/\frac{4^n}{n})=\lim_{n\to\infty}(\frac{4*4^{n}}{n+1}*\frac{n}{4^n})= \lim_{n\to\infty}(\frac{4n}{n+1})=[\frac{\infty}{\infty}]$

Так как получилась неопределённость рода [∞/∞], то пользуемся правилом Лопиталя:

$\lim_{x\to\infty}(\frac{f(x)}{g(x)})= \lim_{x\to\infty}(\frac{f'(x)}{g'(x)})$

Отсюда,

$K=\lim_{n\to\infty}(\frac{4n}{n+1})=\lim_{n\to\infty}(\frac{4}{1})=4 > 1$

Оказалось, что K>1, что значит, что ряд расходится