Question

(2x sin y + 3x²) dx + (x ² cos y + 1/y) dy = 0​

Answer 1

Ответ:

$x^2 \sin y+x^3+\ln |y|=C$

Объяснение:

Дано уравнение вида:

Pdx+Qdy=0, где P=2x sin y + 3x², Q=x² cos y + 1/y

Найдем следующие частные производные:

$P'_y=(2x \sin y + 3x^2)'_y=2x \cos y \\ \\ Q'_x=(x^2 \cos y + \frac{1}{y} )'_x=2x\cos y$

Так как $P'_y=Q'_x$ то дано уравнение в полных дифференциалах.

Решение:

$Pdx+Qdy=0 \ \Rightarrow \ du=0 \ \Rightarrow \ u=C$

Задача сводится к тому, чтобы найти неизвестную функцию u(x,y).

$du=u'_xdx+u'_ydy$

С другой стороны $du=Pdx+Qdy$, тогда

$u'_x=P \ \Rightarrow \ u'_x=2x \sin y+3x^2 \ \Rightarrow \ u=\int (2x \sin y+3x^2)dx= \\ \\ x^2 \sin y+x^3+f(y)\\ \\ u'_y=(x^2 \sin y+x^3+f(y))'_y=x^2 \cos y +f'(y)$

С другой стороны:

$u'_y=Q \ \Rightarrow \ x^2 \cos y+f'(y)=x^2 \cos y+\frac{1}{y} \ \Rightarrow \ f'(y)=\frac{1}{y} \ \Rightarrow \ \\ \\ \Rightarrow \ f(y)=\int \frac{1}{y} \ dy=\ln |y|+C$

Таким образом:

$u=x^2 \sin y+x^3+f(y)=x^2 \sin y+x^3+\ln |y| +C$