Ответы
Площа фігури з проміжку x<=π/2, обмеженої лініями y=2sinx, y=0, обчислюється наступним чином.
Оскільки y=2sinx вище ніж y=0 на проміжку x<=π/2, то площа дорівнює:
S' = integral[0;π/2](2sin(x)-0)dx = integral[0;π/2]2sin(x)dx = -2cos(x) [0;π/2] = -2cos(π/2) + 2cos(0) = 0 + 2 = 2
Загальна площа
S = 2S' = 2*2 = 4
Ответ:Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=2sinx, y=-2sinx, x=0 та x=п, дорівнює 4 + 2πsinx.
Пошаговое объяснение:Для обчислення площі фігури обмеженої лініями y=2sinx, y=-2sinx, x=0 та x=п, спочатку необхідно знайти точки перетину цих ліній.
Лінії y=2sinx та y=-2sinx перетинаються, коли 2sinx = -2sinx.
Це відбувається, коли sinx = 0, тобто x може бути 0, π або 2π, або будь-яке ціле кратне π.
Таким чином, точки перетину цих ліній є:
(0, 0), (π, 0), (2π, 0), (3π, 0), ...
Тепер, для обчислення площі фігури, ми можемо розділити її на прямокутники та трикутники і обчислити їх площі окремо.
Прямокутники:
Фігура складається з двох прямокутників. Один з прямокутників має висоту 2sinx, а другий - висоту -2sinx. Ширина прямокутників - відповідно, dx.
Площа першого прямокутника:
A1 = ∫[0, π] 2sinx dx
= -2cosx ∣[0, π]
= -2cos(π) - (-2cos(0))
= -2(-1) - (-2(1))
= 2 + 2
= 4
Площа другого прямокутника:
A2 = ∫[π, п] -2sinx dx
= 2cosx ∣[π, п]
= 2cos(п) - 2cos(π)
= 2(-1) - 2(-1)
= -2 + 2
= 0
Трикутник:
Фігура також має один трикутник між лініями y=2sinx та y=-2sinx.
Висота трикутника - різниця між лініями y=2sinx та y=-2sinx, тобто 2sinx - (-2sinx) = 4sinx.
Основа трикутника - відстань між точками перетину, тобто π.
Площа трикутника:
A3 = (1/2) * основа * висота
= (1/2) * π * 4sinx
= 2πsinx
Тепер обчислимо площу фігури, склавши площі прямокутників та трикутника:
A = A1 + A2 + A3
= 4 + 0 + 2πsinx
= 4 + 2πsinx