Question

Даны ненулевые векторы a и b одинаковой длины. Найдите косинус угла между ними, если скалярное произведение векторов 3a+7b и 3b-5a равно нулю

Answer 1

По условию, заданное скалярное произведение равно 0:

$(3\vec{a}+7\vec{b})\cdot(3\vec{b}-5\vec{a})=0$

$3\vec{a}\cdot 3\vec{b}+3\vec{a}\cdot(-5\vec{a})+7\vec{b}\cdot 3\vec{b}+7\vec{b}\cdot(-5\vec{a})=0$

$9\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})-15\cdot(\vec{a})^2+21\cdot(\vec{b})^2-35\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})=0$

$-26\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})-15\cdot(\vec{a})^2+21\cdot(\vec{b})^2=0$

Воспользуемся тем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

$-26\cdot(\vec{a}\cdot\vec{b})-15\cdot|\vec{a}|^2+21\cdot|\vec{b}|^2=0$

Распишем скалярное произведение векторов a и b как произведение их длин на косинус угла между ними (обозначим этот угол φ):

$-26\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi-15\cdot|\vec{a}|^2+21\cdot|\vec{b}|^2=0$

Теперь воспользуемся тем, что векторы a и b одинаковой длины, то есть $|\vec{a}|=|\vec{b}|$:

$-26\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot\cos\varphi-15\cdot|\vec{a}|^2+21\cdot|\vec{a}|^2=0$

Поскольку векторы a и b ненулевые, то квадрат длины - положительное число, но которое можно разделить обе части соотношения. Получим:

$-26\cos\varphi-15+21=0$

$26\cos\varphi=6$

$\cos\varphi=\dfrac{6}{26} =\dfrac{3}{13}$

Ответ: 3/13