Question

Знайти похідну функції логарифмічним диференціюванням.

Answer 1

Ответ:

Логарифмическое дифференцирование

  $\bf 1)\ \ y=(x^2)^{sin2x}$        

Прологарифмируем уравнение , получим

$\bf lny=ln\Big((x^2)^{sin2x}\Big)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ lny=sin2x\cdot ln(x^2)$  

Найдём производную от правой и левой частей уравнения.

$\bf \dfrac{y'}{y}=2\, cos2x\cdot ln(x^2)+sin2x\cdot \dfrac{2x}{x^2}\\\\\\\dfrac{y'}{y}=2\, cos2x\cdot ln(x^2)+\dfrac{2}{x}\cdot sin2x\\\\\\y'=y\cdot \Big(2\, cos2x\cdot ln(x^2)+\dfrac{2}{x}\cdot sin2x\Big)$  

Заменим теперь  у  на заданную функцию .

$\bf y'=(x^2)^{sin2x}\cdot \Big(2\, cos2x\cdot ln(x^2)+\dfrac{2}{x}\cdot sin2x\Big)$  

Аналогично решаем второй пример .

$\bf 2)\ \ y=(tgx^2)^{ln\, 3x}\\\\lny=ln\Big(tgx^2)^{ln\, 3x}\Big)\\\\lny=ln\, 3x\cdot ln(tgx^2)\\\\\dfrac{y'}{y}=(ln\, 3x)'\cdot ln(tgx^2)+ln\, 3x\cdot (\, ln(tgx^2)\, )'\\\\\\\dfrac{y'}{y}=\dfrac{3}{3x}\cdot ln(tgx^2)+ln\, 3x\cdot \dfrac{1}{tgx^2}\cdot \dfrac{2x}{cos^2x^2}\\\\\\y'=y\cdot \Big(\dfrac{1}{x}\cdot ln(tgx^2)+ln\, 3x\cdot \dfrac{cosx^2}{sinx^2}\cdot \dfrac{2x}{cos^2x^2}\Big)$  

$\bf y'=(tgx^2)^{ln\, 3x}\cdot \Big(\, \dfrac{1}{x}\cdot ln(tgx^2)+ln\, 3x\cdot \dfrac{1}{sinx^2}\cdot \dfrac{2x}{cosx^2}\, \Big)\\\\\\y'=(tgx^2)^{ln\, 3x}\cdot \Big(\, \dfrac{1}{x}\cdot ln(tgx^2)+ln\, 3x\cdot \dfrac{4x}{sin(2x^2)}\, \Big)$