Question

Если tg(a+π\4)=-1,5, то cos2a чему равен? Правильный ответ- -12\13 . Решите с подробным объяснением

Answer 1

Ответ:

Известно, что   $tg\Big(a+\dfrac{\pi }{4}\Big)=-1,5$  .  Найти  $\bf cos2a$  .

$\bf tg\Big(a+\dfrac{\pi }{4}\Big)=\dfrac{tga+tg\dfrac{\pi }{4}}{1-tga\cdot tg\dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{tga+1}{1-tga}=\dfrac{1+tga}{1-tga}$            

$\bf \dfrac{1+tga}{1-tga}=-1,5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1+tga=-1,5\, (1-tga)\ \ ,\\\\\\1+1,5=1,5\, tga-tga\ \ \ ,\ \ \ 2,5=0,5\, tga\ \ ,\ \ \ tga=5$          

Известна формула , универсальная тригонометрическая подстановка ,

$\bf t=tg\dfrac{x}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sinx=\dfrac{2\, t}{1+t^2}\ \ ,\ \ cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$   .    

Действительно, применим формулу косинуса двойного угла .    

$\bf cosx=\dfrac{cos^2\dfrac{x}{2}-sin^2\dfrac{x}{2}}{1}=\dfrac{cos^2\dfrac{x}{2}-sin^2\dfrac{x}{2}}{cos^2\dfrac{x}{2}+sin^2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\dfrac{cos^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}-\dfrac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}}{\dfrac{cos^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}+\dfrac{sin^2\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}}=\\\\\\=\dfrac{1-tg^2\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}}$

Тогда можно записать  

$\bf cos2a=\dfrac{1-tg^2a}{1+tg^2a}=\dfrac{1-5^2}{1+5^2}=\dfrac{1-25}{1+25}=\dfrac{-24}{26}=-\dfrac{12}{13}$