Question

Ответ с подробными обоснованиями, понятными 5 году обучения в школе

Answer 1

Пусть первый крот прокапывает $w_1$, например, метров, туннеля за, например, час (единицы длины и времени здесь абсолютно не важны). Аналогично, пусть $w_2$ обозначает работоспособность второго крота.

Также пусть всего необходимо выкопать $S$ метров туннеля.

Рассмотрим первый вариант выполнения работы: обоим кротам необходимо выкопать $S/2$ метров туннеля. Первый крот выполнит это поручение за $t_1 = \dfrac{S}{2 w_1}$ часов. Аналогично, второй --- за $t_2 = \dfrac{S}{2 w_2}$.
Так, первый крот получит $50t_1$ золотых, а второй --- $50t_2$. То есть, мэру Зверополиса придётся заплатить $M_1 = 50t_1 + 50t_2 = \dfrac{50S}{2}\bigg(\dfrac{1}{w_1} + \dfrac{1}{w_2}\bigg)$ золотых.

Второй вариант выполнения работы: оба крота копают, пока не встретятся. То есть, оба крота будут выполнять работу одинаковое количество времени $t$. За это время первый крот прокопает $w_1 t =S_1$ метров, а второй --- $w_2 t = S_2$. Всего они прокопают $S_1 + S_2 = S$ метров, то есть каждый из них будет копать $t = \dfrac{S}{w_1 + w_2}$ часов. Мэру Зверополиса придётся заплатить $M_2 = 50t + 50 t = \dfrac{100 S}{w_1+w_2}$ золотых.

Остаётся сравнить $M_1$ и $M_2$:

$M_1 \bigvee M_2,\\[3ex] \dfrac{50 S}{2}\big(1/w_1 + 1/w_2\big) \bigvee \dfrac{100S}{w_1+w_2},\\[3ex] \dfrac{1}{w_1}+\dfrac{1}{w_2} \bigvee \dfrac{4}{w_1+w_2} \iff \dfrac{1}{w_1 w_2} \bigvee \dfrac{4}{(w_1+w_2)^2}$

Отдельно обговорим случай, если k-ый (первый или второй) крот оказался мошенником, то есть его работоспособность $w_k = 0$. Поэтому, пока что считаем, что оба крота добросовестны и копают $w_{1,2} > 0$ метров в час. Тогда

$(w_1 + w_2)^2 \bigvee 4w_1 w_2,\\[3ex] w_1^2 + 2w_1 w_2 + w^2_2 - 4w_1 w_2 \bigvee 0,\\[3ex] (w_1 - w_2)^2 \bigvee 0$

По условию $w_1 \neq w_2$, поэтому $(w_1 - w_2)^2 > 0 \iff M_1 > M_2$.

Очевидно, полученный результат можно будет применить и к случаю мошенника-крота. По условию хотя бы один из них порядочный. Пусть это будет первый крот. Тогда второй крот --- мошенник, который не работает: $w_1 > w_2 = 0$.

Если работа выполняется по первому сценарию, то второй крот никогда не прокопает и метра туннеля, но будет получать плату каждый час пройденного времени. Очевидно, что тогда туннель никогда не будет выкопан, а мэр обанкротит весь город: $M_1 \to +\infty$.

Если работа выполняется по второму сценарию, то туннель будет выкопан исключительно за счёт работы первого крота. Но так ветка зоометро хотя бы вообще будет выкопана (за конечное время), и мэр заплатит $M_2 =50S/w_1$ золотых, что, конечно, меньше $M_1$.

Ответ. Второй вариант наиболее выгодный.