Question

найдите наименьшее значение функции y= x^3 -x^2 - x + 1 на отрезке [0;2]

Answer 1

Ответ: наименьшее значение функции у = x³ - x² - x + 1 на отрезке [0; 2] равно 0 при х = 1.

Пошаговое объяснение:

Наибольшее (наименьшее) значение достигается на концах отрезка или в точках экстремума (точках максимума или минимума).

Точка минимума - это точка, вблизи которой производная функции меняет свой знак с "минуса" на "плюс".

Поэтому:

y = x³ - x² - x + 1, [0; 2];

y' = 3х² - 2x - 1.

Найдем критические точки данной функции:

y' = 0, 3х² - 2x - 1 = 0,

           D = (-2)² - 4 · 3 · (-1) = 4 + 12 = 16; √16 = 4,

           x₁ = (2 + 4)/(2 · 3) = 6/6 = 1, x₂ = (2 - 4)/(2 · 3) = -2/6 = -1/3.

Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберем из них наименьшее:

x₂ = -1/3 не принадлежит отрезку [0; 2].

y(0) = 0³ - 0² - 0 + 1 = 1,

y(1) = 1³ - 1² - 1 + 1 = 1 - 1  = 0,

y(2) = 2³ - 2² - 2 + 1 = 8 - 4 - 2 + 1 = 3.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 0 при х = 1.