Ответы
Эту задачу можно решить двумя способами.
1) Координатный.
Поместим куб в прямоугольную систему координат с началом в точке В.
По заданному положению точек на рёбрах куба определим их координаты.
Для удобства обозначим не U, T, K а А, В и С.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 0 y – 5 z – 0
5 – 0 10 – 5 0 – 0
0 – 0 6 – 5 10 - 0 = 0
x – 0 y – 5 z – 0
5 5 0
0 1 10 = 0
(x – 0)(5·10-0·1) – (y - 5)(5·10-0·0) +( z – 0)(5·1-5·0) = 0
50(x – 0) + (-50)(y – 5) + 5(z – 0) = 0
50x - 50y + 5z + 250 = 0
10x - 10y + z + 50 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |10·10 + (-10)·0 + 1·0 + 50|/√(10² + (-10)² + 1²) = |100 + 0 + 0 + 50|/√(100 + 100 + 1) =
= 150/√201 = (50/67)·√201 ≈ 10,5802.
2) Геометрический.
Рассечём плоскость UTK перпендикулярной плоскостью АА1С1.
Линия EF – это прямая, перпендикуляр к которой из точки А и будет искомым расстоянием.
Отрезки CF и C1E равны половинам отрезков UT и KL.
CF = 5*√2/2 = 2,5√2,
C1E = 4*√2/2 = 2√2 .
Длина отрезка EF равна:
EF = √(10² + (2,5√2 - 2√2)²) = √(201/2) ≈ 10,02497.
Находим синус угла EFС.
sin(EFС) = 10/√(201/2) ≈ 0,997509.
Длина отрезка AF равна:
AF = 10√2 - 2,5√2 = 7,5√2.
Отсюда получаем искомое расстояние d.
d = AF*sin(AFM) = AF*sin(EFC) = 7,5√2*10/√(201/2) = 150/√201≈ 10,5802.
