Question

Многочлен четвертой степени принимает целые значения в точках 0, 1, 3, 4, 6. Какое максимальное значение может принимать знаменатель в несократимой записи коэффициента такого многочлена? Если считаете, что коэффициенты могут быть иррациональными, то запишите в качестве ответа 0.

Answer 1

Ответ:

0 или 3.

Объяснение:

Для решения этой задачи нужно найти все корни многочлена четвертой степени с целыми коэффициентами. Затем найти наибольший общий делитель (НОД) этих корней.

Сначала найдем все корни многочлена:

x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x - 1)^2

Два корня равны 0 и 1, а два других корня равны -1 и 3. Наибольший общий делитель этих корней равен 3.

Чтобы найти максимальное значение знаменателя, нужно найти наибольший общий множитель (НОК) коэффициентов многочлена. В данном случае коэффициенты целочисленны, поэтому НОД и НОК совпадают.

Итак, НОД коэффициентов равен 3, поэтому знаменатель может принимать значения, кратные 3.