Question

Решите в натуральных числах уравнение НОД(a,b) + НОК(a,b) = a + b + 2.

Answer 1

Ответ:

2 и 3

Пошаговое объяснение:

Для решения данного уравнения в натуральных числах воспользуемся свойствами наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).

Пусть НОД(a, b) = d, тогда a = dx и b = dy, где x и y - взаимно простые числа.

НОК(a, b) = xyd, так как НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).

Подставим значения a и b в уравнение:

d + xyd = dx + dy + 2

Упростим выражение:

d(1 + xy) = d(x + y) + 2

Разделим обе части уравнения на d:

1 + xy = x + y + 2/d

Поскольку x и y являются взаимно простыми числами, то д должно быть равно 1 или 2.

Если d = 1, то уравнение принимает вид:

1 + xy = x + y + 2/1

xy = x + y + 1

xy - x - y = 1

(x - 1)(y - 1) = 2

Рассмотрим все возможные комбинации (x - 1) и (y - 1), где произведение равно 2:

(x - 1, y - 1) = (1, 2) или (2, 1)

Следовательно, (x, y) может быть (2, 3) или (3, 2).

Если d = 2, то уравнение принимает вид:

1 + xy = x + y + 2/2

xy = x + y + 1

xy - x - y = 1

(x - 1)(y - 1) = 2

Рассмотрим все возможные комбинации (x - 1) и (y - 1), где произведение равно 2:

(x - 1, y - 1) = (1, 2) или (2, 1)

Следовательно, (x, y) может быть (2, 3) или (3, 2).

Таким образом, решения уравнения в натуральных числах a и b равны (2, 3) и (3, 2)