Question

вычислить предел последовательности
lim(n→∞) 1/(1*2*3) +1/(2*3*4)+...+1/n(n+1)(n+2)
сделайте пожалуйста на листочке ​

Answer 1

Ответ: =0.25

Объяснение:

Выразим n-ый член суммы как:

$An=\frac{B}{n} +\frac{C}{(n+1)}+\frac{D}{(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

$= > \frac{B(n+1)(n+2)+C(n+2)*n+D*n(n+1)}{n(n+1)(n+2)} = \frac{n^2*(B+C+D)+n*(3B+2C+D)+2B}{n(n+1)(n+2)}$

=> B+C+D=0

3B+2C+D=0

2B=1 => B=0.5 => C+D=-0.5 и 3*0.5+2C+D=0 => 1.5-0.5+C=0 => C=-1

=> D=0.5

=> An можно записать в виде

$An=\frac{0.5}{n} -\frac{1}{n+1} +\frac{0.5}{n+2}$

Тогда всю сумму запишем в виде :

$Sn=(\frac{0.5}{1}-\frac{1}{2} +\frac{0.5}{3}) +(\frac{0.5}{2}-\frac{1}{3} +\frac{0.5}{4})+(\frac{0.5}{3}-\frac{1}{4} +\frac{0.5}{5})+(\frac{0.5}{4}-\frac{1}{5} +\frac{0.5}{6})+...$

Заметим, что после сокращений

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (0.5/1-1/2+0.5/2 -1/(n+1)+0.5/(n+2))=\\0.5-0.5/2 =0.25$